Question

如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD=BD，∠C=70°，现给出以下四个结论：
①∠A=45°；②AC=AB；③

AE

=

BE

；④2CE•AB=BC²．
其中正确结论的序号为（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：首先连接AD，OE，BE，由AB为⊙O的直径，CD=BD，易证得AB=AC，又由∠C=70°，可求得∠BAC=40°；继而可求得∠BOE=80°，∠AOE=100°，则可得弧AE≠弧BE；易证得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2CE•AB=BC²．

解答：解：连接AD，OE，BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵CD=BD，
∴AC=AB，
故②正确；
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°，
故①错误；
∵∠BOE=2∠BAC=80°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=100°，
∴弧AE≠弧BE；
故③错误；
∵∠CEB=∠ADB=90°，∠CBE=∠CAD=∠BAD，
∴△CEB∽△BDA，
∴

BC

AB

=

CE

BD

，
∴BC•BD=AB•CE，
∵BC=2BD，
∴2CE•AB=BC²．
故④正确．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．