Question

19．已知△ABC中，AD=CD，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于F点，且AE=$\frac{1}{2}$CF．求证：CE平分∠ACB．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ADC=∠ADB=∠BEC=90°，由余角的性质得到∠BAD=∠DCF，推出△ABD≌△CDF，得到AB=CF，等量代换得到AE=$\frac{1}{2}$AB，然后根据等腰三角形的性质得到结论．

解答 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠DCF+∠B=∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DCF，
在△ABD与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠BAD=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDF，
∴AB=CF，
∵AE=$\frac{1}{2}$CF，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=BC，
∴CE平分∠ACB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．