Question

1．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A₁D₁如图2所示位置，此时A₁E平分∠AA₁D₁，CE平分∠ACD₁，A₁E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A₁D₁C=30°，求∠A₁EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A₁D₁如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A₁EC的度数．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；
（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠QAD=30°，
∴∠PAD=150°，
∵∠PAC=50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE=75°，
∴∠CAE=25°，
可得∠PAC=∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA=25°，
∴∠AEC=180°-25°-25°=130°；

（2）如图2所示：

∵∠A₁D₁C=30°，线段AD沿MN向右平移到A₁D₁，PQ∥MN，
∴∠QA₁D₁=30°，
∴∠PA₁D₁=150°，
∵A₁E平分∠AA₁D₁，
∴∠PA₁E=∠EA₁D₁=75°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ=130°，∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD₁，
∴∠ACE=25°，
∴∠CEA₁=360°-25°-130°-75°=130°；

（3）如图3所示：

过点E作FE∥PQ，
∵∠A₁D₁C=30°，线段AD沿MN向左平移到A₁D₁，PQ∥MN，
∴∠QA₁D₁=30°，
∵A₁E平分∠AA₁D₁，
∴∠QA₁E=∠2=15°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD₁，
∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°，
∴∠CEA₁=∠1+∠2=15°+25°=40°．

点评 此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．