Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点D在AC边上，将△ABD沿着直线BD翻折后，点A将在点E处，如果AD⊥DE，那么DE的长度为$4\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，先依据含30°直角三角形的性质求得BC的长，然后依据勾股定理可求得CA的长，然后再求得∠CDB=45°，故此可得到△BCD为等腰直角三角形，则CD=4，最后依据DE=AD=AC-CD求解即可．

解答 解：如图所示．

∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴BC=4．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知∠ADB=∠EDB，DE=AD．
又∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°．
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$×（360°-90°）=135°．
∴∠BDC=45°．
又∵∠BCD=90°，
∴BC=DC=4．
∴DE=AD=4$\sqrt{3}$-4．
故答案为：4$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，证得△BCD是等腰直角三角形是解题的关键．