Question

3．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AO=CO=12，BO=DO=5，点P为线段AC上的一个动点．
（1）填空：AD=CD=13．
（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．
①试说明PM+PH为定值．
②连结PB，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使PM+PH+PB的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ADO中，由勾股定理可求得AD=13，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD=DC；
（2）连接DP，根据题意可知：S_△ADP+S_△CDP=S_△ADC，由三角形的面积公式可知：$\frac{1}{2}$AD•PM+$\frac{1}{2}$DC•PH=$\frac{1}{2}$AC•OD，将AC、OD、AD、DC的长代入化简即可；
（3））由PM+PH为定值，当PB最短时，PM+PH+PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．

解答 解：（1）∵AC⊥BD于点O，
∴△AOD为直角三角形．
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．
∵AC⊥BD于点O，AO=CO，
∴CD=AD=13．
故答案为：13．
（2）如图1所示：连接PD．

∵S_△ADP+S_△CDP=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}$AD•PM+$\frac{1}{2}$DC•PH=$\frac{1}{2}$AC•OD，即$\frac{1}{2}$×13×PM+$\frac{1}{2}$×13×PH=$\frac{1}{2}×24×5$．
∴13×（PM+PH）=24×5．
∴PM+PH=$\frac{120}{13}$．
（3）∵PM+PH为定值，
∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值．
∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短．
∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小，最小值=$\frac{120}{13}$+5=$\frac{185}{13}$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、垂线段的性质、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM+PH的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP垂直于AC时，PM+PH+PB有最小值是解答问题（3）的关键．