Question

18．如图，FG为⊙O的直径，$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，E为$\widehat{HF}$上一点，延长FE至点A，使EA=EG，连接HG．
（1）求证：AH=HG；
（2）延长AH交⊙O于点B，连接BG，若AB=12$\sqrt{2}$，BG=6，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接EH，FH，可得∠HEG=∠HFG、∠AEH=∠FGH，由FG为⊙O的直径、$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$知∠AEH=∠GEH=45°，证△AEH≌△GEH即可得；
（2）作GK⊥AB，由$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$、∠FHG=90°知∠HFG=∠FGH=∠HBG=45°，从而得出BK=KG=3$\sqrt{2}$，设AH=HG=x，则HK=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，Rt△HKG中根据勾股定理列方程求得x的值，即可得出答案．

解答 解：（1）连接EH，FH，

∴∠HEG=∠HFG，∠AEH=∠FGH，
∵FG为⊙O的直径，$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，
∴HF=HG，∠FHG=90°，
∴∠HFG=∠HGF=45°，
∠AEH=∠GEH=45°，
在△AEH与△GEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{∠AEH=∠GEH}\\{EH=EH}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△GEH，
∴AH=HG；

（2）作GK⊥AB于点K，
∵FG为直径，
∴∠FHG=90°，
∵$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，
∴∠HFG=∠FGH=45°，
∵$\widehat{HG}$=$\widehat{HG}$，
∴∠HFG=∠HBG=45°，
∵BG=6，
∴BK=KG=3$\sqrt{2}$，
∵AB=12$\sqrt{2}$，
设AH=HG=x，
则HK=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，
∴Rt△HKG中，（9$\sqrt{2}$-x）²+（3$\sqrt{2}$）²=x²，
解得：x=5$\sqrt{2}$，
∴FG=5$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=10．

点评 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握圆心角定理及圆周角定理是解题的关键．