Question

【题目】已知二次函数与轴交于、（在的左侧）与轴交于点，连接、.

（1）如图1，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，点分别为轴上的动点，连接、、，求的周长最小值；

（2）如图2，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的拋物线，使得交轴于点（在的左侧）. 将绕点顺时针旋转至. 抛物线的对称轴上有—动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析；，，，，

【解析】

（1）利用待定系数法求出A，B，C的坐标，如图1中，作PQ∥y轴交BC于Q，设P，则Q，构建二次函数确定点P的坐标，作P关于y轴的对称点P1（-4，6），作P关于x轴的对称点P2（4，-6），的周长最小，其周长等于线段的长，由此即可解决问题．

（2）首先求出平移后的抛物线的解析式，确定点H，点C′的坐标，分三种情形，当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2．当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4．当OC′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．

解：（1）如图，，

过点作轴平行线，交线段于点，

设，

=-（m2-4）2+4，

∵，

∴m=4时，△PBC的面积最大，此时P（4，6）

作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别为，

此时的周长最小，其周长等于线段的长；

∵，

∴.

（2）如图，

∵E（0，-4），平移后的抛物线经过E，B，

∴抛物线的解析式为y=-x2+bx-4，把B（8，0）代入得到b=4，

∴平移后的抛物线的解析式为y=-x+4x-4=-（x-2）（x-8），

令y=0，得到x=2或8，

∴H（2，0），

∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，

∴C′（6，2），

当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2，

∵OC′=C′S==2，

∴可得S1（5，2-），S2（5，2+），

∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，

∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，

∴K1（-1，-），同法可得K2（-1，），

当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4，

同法可得K3（11，2-），K4（11，2+），

当OC′是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有52+m2=12+（2-m）2，

解得m=-5，

∴S5（5，-5），

∵点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，

∴C′向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，

∴K5（1，7），

综上所述，满足条件的点K的坐标为（-1，-）或（-1，）或（11，2-）或（11，2+）或（1，7）．