Question

17．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2，即可解出b的值，从而得到函数的解析式，配方后即可求出D点坐标；
（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y=kx+n，由C′（0，2），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），利用待定系数法即可求得直线C′D的解析式，此直线与x轴的交点即为所求．

解答 解：（1）将A（-1，0）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得，
$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2=0，
解得，b=-$\frac{3}{2}$，
则函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
配方得，y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
可见，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y=kx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{\frac{3}{2}k+n=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{k=-\frac{41}{12}}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{41}{12}$x+2．
∴当y=0时，-$\frac{41}{12}$x+2=0，
解得：x=$\frac{24}{41}$．
∴m=$\frac{24}{41}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换的综合应用．掌握待定系数法求函数的解析式是解此题的关键，掌握辅助线的作法以及数形结合思想与方程思想的应用．