Question

如图1，矩形OABC的顶点B在直线y=

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x上，已知OA=10．
（1）求出B、C两点的坐标；
（2）如图2，过点B的直线与x轴交于点D，连接CD，将△DCB沿直线BD翻折，使点C落在x轴上的E点．试问：四边形CDEB是菱形吗？若是，请写出推理过程，并写出此时直线BD的表达式；若四边形CDEB不是菱形，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据矩形的性质可得AB⊥OA，从而得到点B的横坐标，然后代入直线解析式求出AB的长度，即可得到点B的坐标，再根据矩形的对边相等可得OC=AB，然后写出点C的坐标即可；
（2）根据翻折的性质可得CD=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠EBD=∠BDE，再根据等角对等边可得DE=BE，从而得到CD=DE=BE=BC，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明即可．

解答：解：（1）在矩形OABC中，AB⊥OA，
∵OA=10，
∴点B的横坐标为10，
∵点B在直线y=

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x上，
∴AB=y=

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×10=8，
∴点B的坐标为（10，8），
∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=8，
∴点C的坐标为（0，8）；

（2）四边形CDEB是菱形．
理由如下：∵△DCB沿直线BD翻折点C落在x轴上的E点，
∴CD=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，
∵OA∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴DE=BE，
∴CD=DE=BE=BC，
∴四边形CDEB是菱形．

点评：本题是一次函数综合题，主要利用了矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，菱形判定，难点在于（2）求出四边形的四条边都相等．