Question

15．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据菱形的性质，可得AC⊥BD，然后判断出四边形AODE是平行四边形，即可推得四边形AODE是矩形．
（2）根据AB=8，∠BCD=120°，求出AO、BO的大小，即可求出四边形AODE的面积是多少．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
又∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．

（2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠BAO=120°÷2=60°，
∴AO=AB•cos60°=8×$\frac{1}{2}$=4，
∴BO=AB•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴DO=BO=4$\sqrt{3}$，
∴四边形AODE的面积=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定和性质的应用，以及菱形的性质和应用，要熟练掌握．