Question

4．如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，则PE的长为4cm．

Answer 1

分析 连接BP，勾股定理求出AC的长，易证△PEB∽△AEP，△ABC∽△PEA，设PE=xcm，AE=ycm，根据相似三角形的对应边的比相等即可得到x和y的关系，解方程求解．

解答 解：连接OT、BP，
∵CD与半圆O相切于T，
∴OT⊥CD，
∵ABCD是矩形，
∴BCTO是矩形，
∴BC=OT=$\frac{1}{2}$AB=5cm，
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∵PE⊥AB，
∴△PEB∽△AEP，
∴PE：AE=BE：PE，
设PE=xcm，
AE=ycm，
则x：y=（10-y）：x，
∴x²=y（10-y），
∴∠PAE=∠PAB，
∠ABC=∠PEA=90°，
∴△ABC∽△PEA，
∴PE：BC=AE：AB，
则x：5=y：10，
∴y=2x，
解得x₁=0（舍去），
x₂=4，
∴PE=4cm，
∴P到AB的距离是4cm．
故答案是：4cm．

点评 本题综合运用了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质，注意做题时要认真仔细．