Question

20．如图，工人师傅要做一张由3块完全相同的平行四边形木板和1块三角板木板拼成的六边形桌面ABCDEF，量得AB=90cm，BC=30cm
（1）试帮工人师傅确定平行四边形木板各内角的度数、三角形木板各内角的度数及边长；
（2）求六边形桌面ABCDEF的面积（结果精确到0.1m²）
（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73，可使用科学计算器）

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质就可以得出∠QPR=∠BAP．∠PQR=∠QCP，∠PRQ=∠REF．由全等形的性质就可以得出∠BAP=∠QCD=∠REF，CQ=BC，进而得出△PQR是等边三角形，由等边三角形的性质就可以求出结论；
（2）如图，过点P作PM⊥QR于M，过点Q作QN⊥CD于点N，由三角函数值就可以求出三角形的面积和一个平行四边形的面积，进而求出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCP是平行四边形，
∴AB∥CP，CP=AB=90，BC=AP=30°，
∴∠QPR=∠BAP．
同理：∠PQR=∠QCP，∠PRQ=∠REF．
∵平行四边形ABCP≌平行四边形CDEQ≌平行四边形EFRQ，
∴∠BAP=∠QCD=∠REF，CQ=BC=30，
∴∠QPR=∠PQR=∠PRQ，
∴△PQR是等边三角形，
∴∠QPR=∠PQR=∠PRQ=60°，PR=QR=PQ=CP-CQ=90-30=60，
∴∠BAP=∠QPR=60°，
∴∠APC=180°-∠QPR=120°，
∴平行四边形木板各内角的度数为60°、120°、60°、120°；三角形木板各内角的度数都为60°，边长都为60cm；
（2）如图，过点P作PM⊥QR于M，过点Q作QN⊥CD于点N．
∵PQ=60，∠PQR=60°，
∴PM=PQ•sin60°=60×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=30$\sqrt{3}$．
同理：QN=15$\sqrt{3}$．
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$QR•PM=$\frac{1}{2}×60×30\sqrt{3}$=900$\sqrt{3}$，
S_{平行四边形CDEQ}=CD•QN=90×15$\sqrt{3}$=1350$\sqrt{3}$，
∴六边形桌面ABCDEF的面积为：3×1350$\sqrt{3}$+90$\sqrt{3}$=4140$\sqrt{3}$cm²≈0.7m²．

点评 本题考查了平行四边形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等形的性质的运用，平行四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用全等形的性质求解是关键．