题目内容

在平面直角坐标系中，直线y= $数学公式$ kx+m（- $数学公式$ ≤k≤ $数学公式$ ）经过点A（ $数学公式$ ，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB=OA+7-2 $数学公式$ ．记△ABC的面积为S．
（1）求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．

解：（1）∵直线y= $\text{[math]}$ kx+m（- $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ ）经过点A（ $\text{[math]}$ ，4），
∴ $\text{[math]}$ k+m=4，
∴k=1- $\text{[math]}$ m．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐标是（ $\text{[math]}$ ，4），∴OA= $\text{[math]}$ ．
又∵OB=OA+7-2 $\text{[math]}$ ，∴OB=7．∴B点的坐标为（0，7）或（0，-7）．
直线y= $\text{[math]}$ kx+m与y轴的交点为C（0，m）．
①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •BC= $\text{[math]}$ （7-m）．
②当点B的坐标是（0，-7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •BC= $\text{[math]}$ （7+m）．

（3）当m=2时，一次函数S=- $\text{[math]}$ +7 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ，这时C（0，2）．
如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．
则AD= $\text{[math]}$ ，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD= $\text{[math]}$ ，
∴∠ACD=60°．
由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE= $\text{[math]}$ ，B′E= $\text{[math]}$ ．
故OE=CE-OC= $\text{[math]}$ ．
∴点B′的坐标为（ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据点在直线上的意义可知 $\text{[math]}$ k+m=4，k=1- $\text{[math]}$ m．因为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．解得2≤m≤6．
（2）根据题意易得：OA= $\text{[math]}$ ，OB=7．所以B点的坐标为（0，7）或（0，-7）．
直线y= $\text{[math]}$ kx+m与y轴的交点为C（0，m）．
当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •BC= $\text{[math]}$ （7-m）；
当点B的坐标是（0，-7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •BC= $\text{[math]}$ （7+m）．
（3）分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．
利用Rt△ACD中的关系：tan∠ACD= $\text{[math]}$ ，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的线段之间的关系可求得，CE= $\text{[math]}$ ，B′E= $\text{[math]}$ ．故OE=CE-OC= $\text{[math]}$ ．所以点B′的坐标为（ $\text{[math]}$ ）．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．