题目内容
如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点,D是抛物线的顶点,O为![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/66/89bef57e.png)
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(1)求抛物线的函数解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交抛物线于点C,求点C的坐标及直线AC的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,使△APC的面积最大?如果存在,请求出点P的坐标和△APC的最大面积;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)解出方程x2-4x-12=0的两根即可求出A、B两点的坐标,再利用cos∠DAB=
求出D点坐标,进而利用顶点式、两根式或一般式求出二次函数的解析式.
(2)由(1)推得△ACG是等腰直角三角形,据此设出C点坐标C(a,-a-2),将其代入抛物线即可求出a的值,进而求出A、C的坐标,从而求出直线解析式.
(3)将S△APC分解为S△APF与S△PCF的和,求出PF的函数表达式,利用三角形的面积公式得出S△APC的表达式,转化为二次函数的最值问题解答.
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(2)由(1)推得△ACG是等腰直角三角形,据此设出C点坐标C(a,-a-2),将其代入抛物线即可求出a的值,进而求出A、C的坐标,从而求出直线解析式.
(3)将S△APC分解为S△APF与S△PCF的和,求出PF的函数表达式,利用三角形的面积公式得出S△APC的表达式,转化为二次函数的最值问题解答.
解答:
解:(1)解方程x2-4x-12=0得x1=6,x2=-2.
∴A(-2,0),B(6,0).过D作DE⊥x轴于E,
∵D是顶点,
∴点E是AB的中点,
∴E(2,0).
在Rt△DAE中,
∵cos∠DAB=
,
∴∠DAE=45°,
∴AE=DE=4,
∴D(2,4)(由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式,不论用顶点式、两根式还是一般式均可),
∴抛物线的解析式为y=-
(x-2)2+4(或写成y=-
x2+x+3);
(2)∵AC⊥AD,由(1)∠DAE=45°得:
∠BAC=45°,作CG⊥x轴于G,△ACG是等腰直角三角形.
∴设C(a,b)(显然a>0,b<0),
则b=-a-2,即C(a,-a-2),
∵点C在抛物线上,
∴-a-2=-
(a-2)2+4,
a2-8a-20=0,
解之得:a1=10,a2=-2(舍去),
∴C(10,-12)设直线AC的方程为y=mx+n,代入A、C的坐标,得
,
解之得:
,
∴直线AC的解析式为y=-x-2;
(3)存在点P(4,3),使S△APC最大=54.
理由如下:
作CG⊥x轴于G,PF∥y轴交x轴于Q,交AC于F.设点P的横坐标是h,
则G(10,0),P(h,-
(h-2)2+4),F(h,-h-2),
∴PF=-
(h-2)2+4-(-h-2)=-
h2+2h+5,
△PCF的高等于QG.
S△APC=S△APF+S△PCF,
=
PF•AQ+
PF•QG,
=
PF(AQ+QG)=
PF•AG,
=
(-
h2+2h+5)×12,
=-
(h-4)2+54(-2<x<6),
∴当h=4时,S△APC最大=54.
点P的坐标为(4,3).
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∴A(-2,0),B(6,0).过D作DE⊥x轴于E,
∵D是顶点,
∴点E是AB的中点,
∴E(2,0).
在Rt△DAE中,
∵cos∠DAB=
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∴∠DAE=45°,
∴AE=DE=4,
∴D(2,4)(由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式,不论用顶点式、两根式还是一般式均可),
∴抛物线的解析式为y=-
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(2)∵AC⊥AD,由(1)∠DAE=45°得:
∠BAC=45°,作CG⊥x轴于G,△ACG是等腰直角三角形.
∴设C(a,b)(显然a>0,b<0),
则b=-a-2,即C(a,-a-2),
∵点C在抛物线上,
∴-a-2=-
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a2-8a-20=0,
解之得:a1=10,a2=-2(舍去),
∴C(10,-12)设直线AC的方程为y=mx+n,代入A、C的坐标,得
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解之得:
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∴直线AC的解析式为y=-x-2;
(3)存在点P(4,3),使S△APC最大=54.
理由如下:
作CG⊥x轴于G,PF∥y轴交x轴于Q,交AC于F.设点P的横坐标是h,
则G(10,0),P(h,-
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△PCF的高等于QG.
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∴当h=4时,S△APC最大=54.
点P的坐标为(4,3).
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式、直线的解析式、和三角形的面积求法.关于点的存在性问题时要注意分析题意,先假设存在,再进行计算,若能求出该点坐标,则该点存在;若不能求出该点坐标,则该点不存在.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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