Question

7．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30|=0．将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点M，N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t秒（0＜t＜15）．
①当CM＜AN时，求t的取值范围；
②是否存在一段时间，使得S_{四边形MNOB}＞2S_{四边形MNAC}？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得a、b的值，则可求得A、B两点的坐标，再由平移可求得C点坐标；
（2）①用t可分别表示出CM和AN，由条件可得到关于t不等式，可求得t的取值范围；②用t表示出四边形MNOB和四边形MNAC的面积，由条件得到t的不等式，再结合t的取值范围进行判定即可．

解答 解：
（1）∵$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30=0，且$\sqrt{a-2b-18}$≥0，|2a-5b-30|≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b-18=0}\\{2a-5b-30=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=30}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴A（30，0），B（0，6），
又∵点C是由点B向右平移26个单位长度得到，
∴C（26，6）；
（2）①由（1）可知：OA=30，
∵点M从点C向右以1.5个单位长度/秒运动，点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，
∴CM=1.5t，ON=2t，
∴AN=30-2t
∵CM＜AN，
∴1.5t＜30-2t，解得t＜$\frac{60}{7}$，而0＜t＜15，
∴0＜t＜$\frac{60}{7}$；
②由题意可知CM=1.5t，ON=2t，
∴BM=BC-CM=26-1.5t，AN=30-2t，
又B（0，6），
∴OB=6，
∴S_{四边形MNOB}=$\frac{1}{2}$OB（BM+ON）=3（26-1.5t+2t）=3（26+0.5t），S_{四边形MNAC}=$\frac{1}{2}$OB（AN+CM）=3（30-2t+1.5t）=3（30-0.5t），
当S_{四边形MNOB}＞2S_{四边形MNAC}时，则有3（26+0.5t）＞2×3（30-0.5t），解得t＞$\frac{68}{3}$＞15，
∴不存在使S_{四边形MNOB}＞2S_{四边形MNAC}的时间段．

点评 本题为动态几何问题，涉及知识点有非负数的性质、平移的性质、梯形的面积等．在（1）中求得a、b的值是解题的关键，在（2）中用t表示出相应线段的长度是解题的关键．本题考查知识点相对较少，难度不大．