Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC，⊙O是经过A、B、C三点的圆，点P是

BC

上的一个动点（点P不与B、C点重合），连接PA、PB、PC．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）①点P满足什么条件时，有△CPA≌△ABC，请说明理由；
②请直接写出点P满足什么条件时，有BP⊥CD．（不必说明理由）

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：常规题型

分析：（1）作CE⊥AB于E，由于CA=CB，根据等腰三角形的性质得CE为AB的垂直平分线，则点O在CE上，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，所以CE⊥CD，即OC⊥CD，于是根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）①当AC=AP时，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，则∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根据圆周角定理得∠ABC=∠APC，则∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；
②当BP∥CE，BP⊥CD．理由为：由CE⊥CD，则当BP∥CF时，BP⊥CD．

解答：（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：
作CE⊥AB于E，如图，
∵CA=CB，
∴CE平分AB，即CE为AB的垂直平分线，
∴点O在CE上，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CE⊥CD，即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）当AC=AP时，△CPA≌△ABC．
证明如下：∵AC=BC，AC=AP，
∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，
∵∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ACP，
而AC=CA，
∴△CPA≌△ABC，
②当BP∥CE，BP⊥CD．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．