Question

20．如图所示，已知直线y=x+3的图象与 x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 根据直线y=x+4的解析式可求出A、B两点的坐标，如图：
（1）当直线l把△ABO的面积分为S_△AOC：S_△BOC=2：1时，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，可分别求出△AOB与△AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；
（2）当直线l把△ABO的面积分为S_△AOC：S_△BOC=1：2时，同（1）．

解答 解：由直线y=x+4的解析式可求得A（-3，O）、B（0，3），
如图（1），当直线l把△AOB的面积分为S_△AOC：S_△BOC=2：1时，
作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，则S_△AOB=$\frac{9}{2}$，则S_△AOC=3，
∴$\frac{1}{2}$AO•CF=3，即$\frac{1}{2}$×3×CF=3，
∴CF=2．
同理，解得CE=1．
∴C（-1，2），
∴直线l的解析式为y=-2x；
如图（2），当直线l把△ABO的面积分为S_△AOC：S_△BOC=1：2时，
同理求得C（-2，1），
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x．
故答案为y=-2x或y=-$\frac{1}{2}$x．

点评 此题考查的是两直线相交和平行问题，用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到三角形的面积公式及分类讨论的方法．