Question

【题目】问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CD∥BE．

拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

Answer 1

【答案】问题发现：（1）证明见解析；（2）证明见解析；

拓展探究：∠AEB=90°．

【解析】

试题（1）先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；

（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通过等量代换得到∠DCB=∠EBC，有内错角相等得到CD∥BE；

（3）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．

试题解析：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，

∴∠ADC=∠BEC=120°，

∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，

∴∠DCB=∠EBC，

∴CD∥BE；

（3））∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．