Question

已知点A、B、C是⊙O上三点，弧BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC、∠BOC，问：∠BAC与∠BOC有何数量关系？请画出符合题意的图形，并写出证明过程．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：分类讨论

分析：由于点O的位置不能确定，故应分①圆心O在∠BAC的边上；②圆心O在∠BAC的内部；③圆心O在∠BAC的外部三种情况进行讨论．

解答： 解：∠BOC=2∠BAC．
①如图1，圆心O在∠BAC的边上时，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠BOC=∠A+∠C=2∠BAC；
②如图2，当圆心在∠BAC的内部时，连接AO并延长，
∵OA=OB=OC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠OAC，
∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，
∴∠BOC=2∠BAC；
③如图3所示，圆心O在∠BAC的外部时，
连接AO并延长交⊙O于点D，连接OB，OC，
∵由①得，∠COD=2∠CAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=2（∠BAD-∠CAD）=∠BAC．
综合（1）（2）（3）可知，∠BOC=2∠BAC．

点评：本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．