Question

如图，在等腰△ABC中，底边BC=12cm，高AD=8cm，四边形PQRS是正方形．
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）由题意得SR∥BC，故∠ASR=∠B；而∠SAR=∠BAC，即可证明△ASR∽△ABC．
（2）设SR=SP=λ，表示出AE=8-λ；根据△ASR∽△ABC，列出关于λ的比例式，求出λ即可解决问题．

解答： 解：（1）△ASR∽△ABC；理由如下：
∵四边形PQRS是正方形，
∴SR∥BC，∠ASR=∠B；而∠SAR=∠BAC，
∴△ASR∽△ABC．

（2）∵四边形PQRS是正方形，
∴SR=SP（设为λ），而AD⊥BC，
∴DE=PS=λ，AE=8-λ；
∵△ASR∽△ABC，
∴

SR

BC

=

AE

AD

，即

λ

12

=

8-λ

8

，
解得：λ=

24

5

，
即正方形PQRS的边长为

24

5

（cm）．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出图形中的对应元素，正确列出比例式来分析、判断或解答．