Question

已知在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，M为AD中点，BM的延长线交AC于点P，PQ⊥BC于Q．求证：PQ²=PA•PC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；首先证明A、Q、C、N四点共圆，得到PA•PC=PQ•PN；证明△ABM∽△NBP，△DBM∽△QBP，列出比例式，证明PN=PQ；问题即可解决．

解答：证明：如图，分别延长BA、QP，交于点N；连接CN；
∵∠A=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠NAC=∠NQC=90°，
∴A、Q、C、N四点共圆，
∴PA•PC=PQ•PN（相交弦定理），
∵AD⊥BC，PQ⊥BC，
∴AD∥NQ，
∴△ABM∽△NBP，△DBM∽△QBP，
∴AM：PN=BM：BP，DM：PQ=BM：BP，
∴AM：PN=DM：PQ，而AM=DM，
∴PN=PQ，
∴PQ²=PA•PC．

点评：该题在主要考查了相似三角形的判定及其性质应用的同时，还渗透了对四点共圆、相交弦定理等其它几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．