Question

16．直角三角形斜边为$\sqrt{6}$，周长是3+$\sqrt{6}$，则三角形面积为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设出直角三角形的两直角边分别为x与y，再由斜边的长及已知三角形的周长，利用勾股定理以及周长的定义得到x和y的两个关系式，然后利用完全平方公式即可求得xy的值，然后根据三角形的面积等于$\frac{1}{2}$xy即可求解．

解答 解：设直角三角形的两直角边分别为x和y，
∵直角三角形的斜边长是$\sqrt{6}$，
∴x²+y²=6…①，
∵周长是3+$\sqrt{6}$，
∴x+y+$\sqrt{6}$=3+$\sqrt{6}$，即x+y=3…②
将②左右两边平方得：（x+y）²=x²+2xy+y²=9，
将①代入得：2xy+6=9，即xy=$\frac{3}{2}$，
则此三角形的面积S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案是：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，以及直角三角形面积的求法，利用了方程及整体代入的思想，是中考中常考的题型．