Question

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2，0）、（0，3），抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，交x轴于点E和点F，动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿E→O→C→B向点B运动，动点Q从点B出发，以相同的速度沿B→A→F运动，到点F后，继续沿x轴正方向运动，当点P到达点B时点Q随之停止运动．
（1）求抛物线所对应的函数关系式
（2）设点P的运动时间为t（秒），试探究是否存在这样的t，使点P、Q所在的直线将矩形OABC分成面积相等的两部分，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）设抛物线的顶点为D，求出当△DPQ为等腰三角形时t的值
（4）直接写出以P、Q、C、F为顶点的四边形为轴对称图形或中心对称图形时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分四种情形讨论①如图当点P在OE上时，矩形的对角线AC与OB交于点H，则H（1，$\frac{3}{2}$）．求出直线PQ的解析式（用t表示），然后利用待定系数法解决．②当点P在线段OC上，点Q在线段AB上时，直线PQ不可能经过点H，此时不存在．③当点P在线段OC上，点Q在射线AF上时，方法类似①，④当点P在线段BC上时，显然直线PQ不经过点H，此时不存在．
（3）分两种情形①如图3中，当DP=QD时，△DPQ是等腰三角形．②如图3中，当PD=PQ时，△PQD是等腰三角形．分别列出方程即可解决．
（4）分两种情形①如图4中，当点Q与点A重合时，OP=OA，易知四边形PCFQ是等腰梯形，是轴对称图形，②如图5中，当点Q在线段BC上时，易知四边形CPQF是平行四边形，是中心对称图形，即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线抛y=-x²+bx+c经过B、C两点经过C（0，3），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，

（2）①如图当点P在OE上时，矩形的对角线AC与OB交于点H，则H（1，$\frac{3}{2}$）．

∵P（t-1，0），Q（2，3-t），
∴直线PQ的解析式为y=x+1-t，
当直线PQ经过点H时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∴$\frac{3}{2}$=1+1-t，
∴t=$\frac{1}{2}$．
②当点P在线段OC上，点Q在线段AB上时，直线PQ不可能经过点H，此时不存在．
③当点P在线段OC上，点Q在射线AF上时，
∵P（0，t-1），Q（2+t-3，0），
∴直线PQ的解析式为y=-x+t-1，
当直线PQ经过点H时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∴$\frac{3}{2}$=-1+t-1，
∴t=$\frac{7}{2}$，
④当点P在线段BC上时，显然直线PQ不经过点H，此时不存在．
综上所述，当t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{7}{2}$s时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．

（3）①如图3中，当DP=QD时，△DPQ是等腰三角形．

根据对称性可知，PC=BQ，
∴4-t=t，
∴t=2．
②如图3中，当PD=PQ时，△PQD是等腰三角形．

∵D（1，4），P（0，t-1），Q（2，3-t），
∴1²+（t-5）²=2²+（4-t+3-t）²，
∴t=3．
综上所述，t=2或3时，△DPQ是等腰三角形．

（4）①如图4中，当点Q与点A重合时，OP=OA，易知四边形PCFQ是等腰梯形，是轴对称图形，

当点Q在射线AF上时，OP=OQ=t-1，四边形PCFQ是等腰梯形，
∴3≤t≤4时，四边形PCQF是轴对称图形．

②如图5中，当点Q在线段BC上时，易知四边形CPQF是平行四边形，是中心对称图形，

∴4＜t≤6时，四边形CPQF是中心对称图形．
综上所述，3≤t≤6时，以P、Q、C、F为顶点的四边形为轴对称图形或中心对称图形．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，轴对称图形、中心对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用图象解决问题，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．