Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；

（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；

（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）或.

【解析】试题分析：

(1)用含t的式子表示出AP，CP的长，用勾股定理列方程求解；

(2)利用角平分线的性质定理，用含t的式子表示出AP，PD的长，用勾股定理列方程求解；

(3)AC不动，点P是动点，所以需要分类讨论，分别以A，C，P为等腰三角形的顶点构成的等腰三角形，然后用勾股定理列方程求解.

试题解析：

Rt△ABC中，由勾股定理得AC=3.

(1)根据题意得AB+BP=2t，所以BP=2t-AB=2t-5，

则AP=2t-5，PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.

Rt△APC中，由勾股定理得：AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t=.

(2)过点P作PD⊥AB于点D.

因为BP平分∠ABC，∠C=90°，所以PD=PC，BD=BC.

根据题意得，AB+BC+CP=2t，所以CP=2t-9，

则DP=2t-9，AP=3-(2t-9)=12-2t.

Rt△APD中，AD=AB-BD=5-4=1，由勾股定理得：

PD2+AD2=AP2，即12+(2t-9)2=(12-2t)2，解得t=.

(3) 如图1，当AP=AC时，AP=3，2t=3，t=.

如图2，当CA=CP，点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，则AD=PD.

因为CD×AB=AC×BC，所以5CD=3×4，CD=.

Rt△ACD中，由勾股定理得AD=.

因为AP=2AD，所以t=2AD÷2=AD=.

如图3，当CA=CP，点P在BC上时，CP=CA=3.

则BP=BC-BP=4-3=1，AB+BP=5+1=6.

所以t=6÷2=3.

如图4，当PA=PC时，过点P作PD∥BC交AC于点D，则PD垂直平分AC，所以AP=BP=，t=÷2=.

综上所述，当t=， ，3， 时，△ACP为等腰三角形．