Question

如图，正方形OA₁P₁B₁和正方形A₁A₂P₂B₂的顶点P₁，P₂都在函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，顶点A₁，A₂在x轴上．
（1）求点P₁和点P₂的坐标；
（2）求以P₁为顶点且经过原点的抛物线的解析式；
（3）点P₂是否在（2）中所求得的抛物线上？请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标特征,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）设正方形OA₁P₁B₁边长为a，P₁（a，a），代入反比例解析式求出a的值确定出P₁坐标，设正方形A₁A₂P₂B₂边长为b，P₂（2+b，b），同理求出b的值，确定出P₂坐标；
（2）根据题意设y=a（x-2）²+2，将（0，0）代入求出a的值，即可确定出解析式；
（3）将P₂横坐标代入解析式求出y的值，与纵坐标比较即可．

解答：解：（1）设正方形OA₁P₁B₁边长为a，P₁（a，a），
代入反比例解析式得：a²=4，
解得：a₁=2，a₂=-2（舍去），即P₁（2，2），
设正方形A₁A₂P₂B₂边长为b，P₂（2+b，b），
代入反比例解析式得：b（2+b）=4，
解得：b₁=-1+

5

，b₂=-1-

5

（舍去），即P₂（1+

5

，-1+

5

）；
（2）∵抛物线以P₁为顶点，
∴y=a（x-2）²+2，
∵抛物线且经过原点，
∴0=4a+2，即a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+2x；
（3）将x=1+

5

代入得：y=

5

-1，
∴点P₂在所求得的抛物线上．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．