Question

7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：
（1）AD是△ABC的角平分线；
（2）AE=AF．

Answer 1

分析 （1）根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE=DF，再根据角平分线的判定即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，再根据线段的和差求解即可．

解答 证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵BE=CF，
∴AE=AF．

点评 本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．