Question

【题目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．

【解析】

试题分析：（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．

（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．

解：（1）BM+DN=MN成立．

证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，

得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．

∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM与△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN﹣BM=MN．

在线段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ与△ABM中，

∵，

∴△ADQ≌△ABM（SAS），

∴∠DAQ=∠BAM，

∴∠QAN=∠MAN．

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN﹣BM=MN．