Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点O到直线AB的距离；

（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²﹣1，

将B点坐标代入函数解析式，得

（5﹣1）²a﹣1=3，

解得a=．

故抛物线的解析式为y=（x﹣1）²﹣1；

（2）由勾股定理，得OA²=1¹+1²=2，OB²=5²+3²=34，AB²=（5﹣1）²+（3+1）²=32，

OA²+AB²=OB²，

∴∠OAB=90°，

O到直线AB的距离是OA=；

（3）设M（a，b），N（a，0）

当y=0时，（x﹣1）²﹣1=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①当△MND∽△OAB时，=，即=，

化简，得4b=a﹣3  ①

M在抛物线上，得b=（a﹣1）²﹣1   ②

联立①②，得，

解得a₁=3（不符合题意，舍），a₂=﹣2，b=，

M₁（﹣2，），

当△MND∽△BAO时，=，即=，

化简，得b=12﹣4a   ③，

联立②③，得，

解得a₁=3（不符合题意，舍），a₂=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M₂（﹣17，80）．

综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．