Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=5cm，E为对角线BD上一动点，连接AE、CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F，E点从B点出发，沿BD方向以每秒1cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．

（1）点E在整个运动过程中，试说明总有：CE=EF；

（2）求y与x之间关系的表达式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=

【解析】

（1）分两种情况：点F在BC的延长线上和在BC边上，在BC的延长线上时，作辅助线，构建三角形全等，证明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；在BC边上时，同理可证明∠BAE=∠CFE，再证明△BEA≌△BEC得∠BAE=∠BCE，所以∠CFE=∠FCE，故可得结论；

（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD的长可得x的取值．

（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB⊥AD，

∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°，

∴∠AEM=∠NFE，

∵∠DBC=45°，∠BNE=90°，

∴BN=EN=AM，

∴△AEM≌△EFN（AAS），

∴AE=EF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

∵DE=DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE=CE，

∴CE=EF；

如图2，同理可证明∠BAE=∠CFE,

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠CBE=45°

又AB=CB，BE=BE

∴△BEA≌△BEC

∴∠BAE=∠BCE

∴∠CFE=∠FCE

∴CE=FE

因此，点E在整个运动过程中，总有：CE=EF；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴，

由题意得：BE=2x，

∴，

由（1）知：AE=EF=EC，

分两种情况：

①当时，如图3，

∵AB=MN=10，

∴ME=FN=10-x，

∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，

∴；

②当时，如图4，过E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，

∴FN=CN=10-x，

∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，

∴；

综上，y与x之间关系的函数表达式为： y=