Question

18．已知直线y=2x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，y轴上点C的坐标为（0，2），在x轴上找一点P，使以P、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为（1，0）或（4，0）或（-1，0）或（-4，0）．

Answer 1

分析 分点P在x轴正半轴以及负半轴上两种情形讨论，结果有4种情形．

解答 解：如图，

点P在x正半轴上时，当△POC∽AOC时，$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$，
∵OA=2，OB=4，OC=2，
∴OP=1，
∴点P坐标（1，0）．
当△P′OC∽△BOA时，$\frac{OP′}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$，
∴OP′=4，
∴点P′坐标（4，0），
根据对称性，当点P在x轴负半轴上时，点P的坐标为（-1，0）或（-4，0），
综上所述点P坐标为（1，0）或（4，0）或（-1，0）或（-4，0）．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．