Question

6．（1）已知x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}+\sqrt{3}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}-\sqrt{3}$），求$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$的值
（2）y=$\sqrt{1-8x}$+$\sqrt{8x-1}$$+\frac{1}{2}$，求代数式$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}$-$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$．

Answer 1

分析 （1）根据x、y计算出x+y、xy的值，再将其代入到原式变形后的式子$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$即可；
（2）二次根式的意义得出x的值，继而可得y的值，代入到原式变形后的式子$\frac{2x}{\sqrt{xy}}$即可得．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}+\sqrt{3}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}-\sqrt{3}$），
∴x+y=$\sqrt{5}$，xy=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$
=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$
=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
=$\frac{5-1}{\frac{1}{2}}$
=8；

（2）∵1-8x≥0且8x-1≥0，
∴x=$\frac{1}{8}$，
当x=$\frac{1}{8}$时，y=$\frac{1}{2}$，
则原式=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{xy}}$-$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}{xy}}$
=$\sqrt{\frac{（x+y）^{2}}{xy}}$-$\sqrt{\frac{（x-y）^{2}}{xy}}$
=$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$-$\frac{y-x}{\sqrt{xy}}$
=$\frac{2x}{\sqrt{xy}}$
=$\frac{2×\frac{1}{8}}{\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{2}}}$
=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$
=1．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值及二次根式有意义的条件，熟练根据二次根式的性质及运算法则化简各式是关键．