Question

13．已知：如图点M在等边三角形ABC边AB上，延长BC至点Q，使CQ=AM，连接MQ交AC于点P，求证：PM=PQ．（提示：过M作MN∥BC交AC于N）

Answer 1

分析 过M作MN∥BC交AC于N，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AMN，∠ACB=∠ANM，然后求出△AMN是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得AM=MN=CQ，再求出∠PMN=∠Q，然后利用“角角边”证明△PMN和△PQC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：过M作MN∥BC交AC于N，
∴∠B=∠AMN，∠ACB=∠ANM，
∵等边△ABC，AM=CQ，
∴△AMN为等边三角形，
∴AM=MN=CQ，
∵MN∥BC，
∴∠PMN=∠Q，
在△PMN和△PQC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMN=∠Q}\\{∠MPN=∠CPQ}\\{MN=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PMN≌△PQC（AAS）
∴PM=PQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，难点在于作辅助线构造出以PM=PQ对应边的全等三角形．