Question

8．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，三角形ECB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 欲证明平行四边形ABCD是矩形，只需证得该四边形的一个内角是90°即可．

解答 证明：∵△BCE是等边三角形，
∴CE=BE，∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=60°，∠DEC=∠DCE=60°．
则∠AEB=∠DEC，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∴在△AEB与△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠AEB=∠DEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴∠A=∠D．
又∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．