Question

20．如图，以点A（1，$\sqrt{3}$）为圆心的⊙A交y轴正半轴于B、C两点，且OC=$\sqrt{3}$+1，点D是⊙A上第一象限内的一点，连接OD、CD．若OD与⊙A相切，则CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接OA，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点D作DF⊥CF交CA的延长线于F．首先证明△AOD为等腰直角三角形，在Rt△ADF，Rt△CDF中，解直角三角形即可解决问题．

解答 解：连接OA，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点D作DF⊥CF交CA的延长线于F．

∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴CE=AE=1，AC=AD=$\sqrt{2}$
∴OD=$\sqrt{2}$，
∵AD=OD，∠ADO=90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠DAF=180°-45°-60°-45°=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CF=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{C{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$+1．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．