Question

【题目】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律:例如，若数轴上点 A , B 表示的数分别为 a , b ，则 A , B 两点之间的距离AB=，线段 AB 的中点M 表示的数为．如图，在数轴上，点A,B,C表示的数分别为-8，2，20．

（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒_______个单位长度、点C每秒______个单位长度；

（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？

（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；

①　t为何值时PC=12；

②　t为何值时PC=4．

Answer 1

【答案】（1）2.5；4.5；（2）t＝4或7；（3）①；②20

【解析】

（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出AB的长和BC的长，然后根据速度=路程÷时间即可得出结论；

（2）分点A和点C相遇前AB=BC、相遇时AB=BC和相遇后AB=BC三种情况，分别画出对应的图形，然后根据AB=BC列出方程求出t的即可；

（3）①分点B到达点C之前和点B到达点C之后且点A到点C之前两种情况，分别画出对应的图形，利用中点公式、两点之间的距离公式和PC=12列方程即可求出t的值；

②分点B到达点C之前和点B到达点C之后且点A到点C之前两种情况，分别画出对应的图形，利用中点公式、两点之间的距离公式和PC=12列方程即可求出t的值；

解：（1）∵点A,B,C表示的数分别为-8，2，20．

∴AB=2－（-8）=10，BC=20－2=18

∵点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，

∴点A的速度为每秒：AB÷4=个单位长度，点C的速度为每秒：BC÷4=个单位长度，

故答案为：；．

（2）AC=20－（-8）=28

∴点A和点C相遇时间为AC÷（1＋3）=7s

当点A和点C相遇前，AB=BC时，此时0＜t＜7，如下图所示

此时点A运动的路程为1×t=t，点C运动的路程为3×t=3t

∴此时AB=10－t，BC=18－3t

∵AB=BC

∴10－t=18－3t

解得：t=4；

当点A和点C相遇时，此时t=7，如下图所示

此时点A和点C重合

∴AB=BC

即t=7；

当点A和点C相遇后，此时t＞7，如下图所示

由点C的速度大于点A的速度

∴此时BC＞AB

故此时不存在t，使AB=BC．

综上所述：当A、C两点与点B距离相等的时候，t＝4或7．

（3）点B到达点C的时间为：BC÷3=6s，点A到达点C的时间为：AC÷1=28s

①当点B到达点C之前，即0＜t＜6时，如下图所示

此时点A所表示的数为-8＋t，点B所表示的数为2＋3t

∴线段AB的中点P表示的数为

∴PC=20－（2t－3）=12

解得：t=；

当点B到达点C之后且点A到点C之前，即6≤t＜28时，如下图所示

此时点A所表示的数为-8＋t，点B所表示的数为20

∴线段AB的中点P表示的数为

∴PC=20－（）=12

解得：t=4，不符合前提条件，故舍去．

综上所述：t=时，PC=12；

②当点B到达点C之前，即0＜t＜6时，如下图所示

此时点A所表示的数为-8＋t，点B所表示的数为2＋3t

∴线段AB的中点P表示的数为

∴PC=20－（2t－3）=4

解得：t=，不符合前提条件，故舍去；

当点B到达点C之后且点A到点C之前，即6≤t＜28时，如下图所示

此时点A所表示的数为-8＋t，点B所表示的数为20

∴线段AB的中点P表示的数为

∴PC=20－（）=4

解得：t=20．

综上所述：当t=20时，PC=4．