Question

如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时是菱形？
（4）四边形ADEF是否能为正方形？

Answer 1

考点：正方形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出结论．
（2）当四边形ADEF有一个角是90°，即∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，依据矩形的定义判断．
（3）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形．
（4）同时满足（2）、（3）时，该四边形为正方形．

解答：（1）证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中，

BC=CE ∠BCA=∠ECF AC=CF

，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）解：当∠BAC=150°时，∠DAF=90°，此时四边形ADEF是矩形；

（3）解：当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（4）解：当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定、菱形以及矩形的判定．正方形是一种特殊的菱形，也是一种特殊的矩形．