Question

14．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP，延长后交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：PC²=PE•PF；
（3）若PE=2，EF=6，FB=16，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DAP=∠DCP，根据平行线的性质得到∠DCP=∠F，等量代换得到∠DAP=∠F，推出△APE∽△FPA，根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{FP}$=$\frac{PE}{PA}$，于是得到PA²=PE•PF，等量代换即可得到结论；
（3）根据PC²=PE•PF，求得PC=4，根据平行线分线段成比例得到$\frac{FB}{CD}=\frac{PF}{PC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴$\frac{AP}{FP}$=$\frac{PE}{PA}$，
∴PA²=PE•PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF；

（3）∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴$\frac{FB}{CD}=\frac{PF}{PC}$，
∴$\frac{16}{CD}=\frac{8}{4}$
∴CD=8，
∴菱形ABCD的边长是8．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，在（2）中证明△APE∽△FPA是解题的关键．