Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=_____

Answer 1

【答案】6

【解析】

如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝6∶8∶10=3∶4∶5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解决问题．

解：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，

∴四边形PQBR是矩形，

∴∠QPR＝90°＝∠MPN，

∴∠QPE＝∠RPF，

∴△QPE∽△RPF，

∴，

∴PQ＝2PR＝2BQ，

∵PQ∥BC，

∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝6∶8∶10=3∶4∶5，

设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，

∴2x＋3x＝6，

∴x＝，

∴AP＝5x＝6．

故答案为6．