Question

11．在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE，取BD中点M．求证：MC=ME．

Answer 1

分析 取AB中点F，AD中点N，连接CF、FM、MN、NE，只要证明△CFM≌△MNE即可．

解答 证明：取AB中点F，AD中点N，连接CF、FM、MN、NE．
∵∠ACB=90°，∠AED=90°，AF=FB，AN=ND，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB，NE=$\frac{1}{2}$AD，
∵BM=MD，AF=FB，AN=ND，
∴FM∥AD，MN∥BA，FM=$\frac{1}{2}$AD．MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴CF=MN，FM=NE，∠BFM=∠BAD=∠MND，
∵∠CAB+∠CBA=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∠CAB=∠DAE，
∴∠CBA=∠ADE，
∵CF=BF，DN=NE，
∴∠FCB=∠CBF，∠NDE=∠NED，
∴∠CFB=∠DNE，
∴∠CFM=∠MNE，
在△CFM和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=MN}\\{∠CFM=∠MNE}\\{FM=NE}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△MNE，
∴CM=ME．

点评 本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．