Question

阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h₁，到AC的距离PF=h₂，到BC的距离PH=h₃．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h₁=h，h₂=h，因此得到：h₁+h₂=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h₁+h₂=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴BC•AD=AB•PE+AC•PF
∴a•h=a•h₁+a•h₂．
∴h₁+h₂=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁，h₂与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．

Answer 1

解：（1）当点P在BC的延长线上，上述结论不成立；
应为：h₁-h₂=h．
证明：如图，连接AP．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴BC•AD=AB•PE-AC•PF．
∴a•h=a•h₁-a•h₂．
∴h₁-h₂=h．

（2）如图：当点P在CB的延长线上时，h₂-h₁=h．
此问为开放题，答案不唯一，只要学生能够结合图形，合理提出问题，猜想出结论即可．
分析：（1）首先确定当点P在BC的延长线上，上述结论不成立；应为：h₁-h₂=h．然后连接AP，利用三角形面积的方法，即可求得答案；
（2）此问为开放题，答案不唯一，只要学生能够结合图形，合理提出问题，猜想出结论即可，注意解题的方法也是利用三角形面积的方法．
点评：此题考查了学生的阅读分析能力与等边三角形的性质，以及利用面积法解题的知识．此题难度不大，注意分析，注意数形结合思想的应用．