Question

17．己知：△ABC、△A₁B₁C₁均为锐角三角形，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁
求证：△ABC≌△A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 过B作BD⊥AC于D，过B₁作B₁D₁⊥B₁C₁于D₁，得出∠BDA=∠B₁D₁A₁=∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°，根据SAS证△BDC≌△B₁D₁C₁，推出BD=B₁D₁，根据HL证Rt△BDA≌Rt△B₁D₁A₁，推出∠A=∠A₁，根据AAS推出△ABC≌△A₁B₁C₁即可．

解答 证明：过B作BD⊥AC于D，过B₁作B₁D₁⊥B₁C₁于D₁，

则∠BDA=∠B₁D₁A₁=∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°，
在△BDC和△B₁D₁C₁中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠{C}_{1}}\\{BC={B}_{1}{C}_{1}}\\{∠BDC=∠{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}\end{array}\right.$
∴△BDC≌△B₁D₁C₁，
∴BD=B₁D₁，
在Rt△BDA和Rt△B₁D₁A₁中
$\left\{\begin{array}{l}{AB={A}_{1}{B}_{1}}\\{BD={B}_{1}{D}_{1}}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDA≌Rt△B₁D₁A₁（HL），
∴∠A=∠A₁，
在△ABC和△A₁B₁C₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠{C}_{1}}\\{∠A=∠{A}_{1}}\\{AB={A}_{1}{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△A₁B₁C₁．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．