Question

20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，试问：图中有多少个黄金三角形，为什么？

Answer 1

分析 由等腰梯形的性质和已知条件得出∠ABC=∠DCB，∠ACD=∠ABD=∠ADB=∠DAO=∠BCO=∠CBO，由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠ABC=∠DCB=∠BDC，设∠ABD=∠BCO=x，则∠ABC=∠BAC=2x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程得出∠BAC=∠ABC=72°，得出△ABC是黄金三角形，同理：△DBC是黄金三角形；由三角形的外角性质得出△ABO是黄金三角形，同理：△DCO是黄金三角形，即可得出结论．

解答 解：图中有4个黄金三角形；理由如下：
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACD=∠ABD=∠ADB=∠DAO=∠BCO=∠CBO，
∵AC=BD=BC，
∴∠BAC=∠ABC=∠DCB=∠BDC，
设∠ABD=∠BCO=x，则∠ABC=∠BAC=2x，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BAC=∠ABC=72°，
∴△ABC是黄金三角形，
同理：△DBC是黄金三角形；
∵∠AOB=∠DAC+∠ADB=2x=72°=∠BAC，
∴△ABO是黄金三角形，
同理：△DCO是黄金三角形，
∴图中有4个黄金三角形．

点评 本题考查了黄金三角形的定义、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰梯形的性质，由三角形内角和定理得出方程是解决问题的关键．