Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线y=

1

2

x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=

5

．
（1）求点A，点B的坐标，并求边AB的长；
（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，求证：△ADH∽△BAO；
（3）求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）在解析式中令y=0，x=0就可以求出A，B的坐标，根据勾股定理就可以求出AB的长；
（2）求证∠BAO=∠ADH，再根据∠AOB=∠DHA=90°，就可以证出结论；
（3）根据△ADH∽△BAO，可以求出DH，AH就可以写出D的坐标．

解答：（1）解：在y=

1

2

x+2中，令y=0，
解得x=-4，
令x=0，
解得y=2，因而A（-4，0），B（0，2），
∴在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

；

（2）证明：由∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AOB=∠DHA=90°，
∴△ADH∽△BAO；

（3）解：∵△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，
即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

，
∴DH=2，AH=1，
∴D（-5，2）．

点评：本题主要考查了函数与坐标轴的交点的求法，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．