Question

已知：如图：AD⊥BC于D，点E是边AB上一动点，四边形EFGH是矩形，其中点F，G在BC上，点H在AC上．
（1）若AD=BC，试探讨矩形EFGH的周长与高AD的数量关系；
（2）若矩形EFGH的面积是△ABC的面积的一半，求AE与AB的比值．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质可得：EH∥BC，所以△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可得到矩形EFGH的周长与高AD的数量关系；
（2）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式分别把矩形EFGH的面积和△ABC的面积，利用图形中的线段表示出来，由（1）可知

AM

AD

=

EH

BC

，所以EH=

AM•BC

AD

，代入BC•AD=4EH•DM，进一步整理得到关于AD和2AM的完全平方公式，问题得解．

解答：解（1）矩形EFGH的周长=2AD．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于D，
∴

AM

AD

=

EH

BC

，
设AM=x，则DM=AD-x，
∴

x

AD

=

EH

BC

，
∵AD=BC，
∴EH=x，
∵EF=DM=AD-x，
∴矩形EFGH的周长=2（EH+EF）=2（x+AD-x）=2AD，
∴矩形EFGH的周长=2AD；

（2）∵S_△ABC=

1

2

BC•AD，S_矩形EFGH=EH•EF=EH•DM，
若矩形EFGH的面积是△ABC的面积的一半，
即

1

2

BC•AD=2EH•DM，
∴BC•AD=4EH•DM，
∵

AM

AD

=

EH

BC

，DM=AD-AM
∴EH=

AM•BC

AD

，
∴BC•AD=4

AM•BC

AD

•（AD-AM），
即AD²=4AM•AD-4AM²，
∴（AD-2AM）²=0，
∴AD=2AM，
∵EH∥BC，
∴

AE

AB

=

AM

AD

=

1

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及矩形的面积和三角形的面积公式的运用，题目的设计很新颖，特别是第二问根据条件得到比例式，再进一步整理得到完全平方公式是解题的突破口．