如图.在平面直角坐标系中.等腰直角△ABC的直角顶点C为.腰长为2.将三角形绕着顶点C旋转．分别过点A.点B向x轴作垂线.垂足分别为O1.O2．(1)如图①和图②证明在点B不在坐标轴上的情况下.△ACO1与△BCO2全等吗?选择其中一幅图说明你的理由,(2)如图③所示.点B运动到x轴上时.点O1与C重合.以C为圆心CA为半径作圆.得到如图所示的⊙C.在⊙C上有一个动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC的直角顶点C为（-4，0），腰长为2，将三角形绕着顶点C旋转．（点A在x轴的上方）分别过点A、点B向x轴作垂线，垂足分别为O₁，O₂．

（1）如图①和图②证明在点B不在坐标轴上的情况下，△ACO₁与△BCO₂全等吗？选择其中一幅图说明你的理由；
（2）如图③所示，点B运动到x轴上时，点O₁与C重合，以C为圆心CA为半径作圆，得到如图所示的⊙C，在⊙C上有一个动点P（点P不在x轴上），过点P作⊙C的切线与y轴的交点为点Q，直线BP交y轴于点M．
①如图，当点Q在y轴的正半轴时，写出线段PQ与线段QM之间的数量关系，并说明理由；
②随着点P的运动（点P在坐标轴上除外）①中的两条线段之间的关系变吗？若变说明理由，若不变，则它们有最小值吗？最小值为多少？

分析（1）图①先利用同角的余角相等得出∠ACO₁=∠CBO₂，即可得出结论；图②同图①的方法可证；
（2）①先利用切线的性质和同角或等角的余角相等得出结论；
②先判断出PQ最小时，点Q在原点O处，再用勾股定理求出PQ的最小值．

解答解：（1）△ACO₁与△BCO₂全等
如图①，∵∠ACB=90°，
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°，
∵AO₁⊥OC，BO₂⊥OC，
∴∠AO₁C=∠BO₂C=90°，
∴∠BCO₂+∠CBO₂=90°，
∴∠ACO₁=∠CBO₂，
在△ACO₁和△CBO₂中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A{O}_{1}C=∠C{O}_{2}B}\\{∠AC{O}_{1}=∠CB{O}_{2}}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACO₁≌△CBO₂，
如图2，同①的方法可证；
（2）①∵PQ是⊙C的切线，
∴∠QPC=90°，
∴∠QPM+∠CPB=90°，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP
∴∠QPM+∠CBP=90°，
∵∠CBP=∠OBM，
∴∠QPM+∠OBM=90°，
∵∠OBM+∠OMB=90°，
∴∠QPM=∠OMB，
∴QP=QM，
②不变，
理由：同（1）
连接CQ，
在Rt△CPQ中，PQ²=CQ²-CP²
∵CP是⊙C的半径，
∴CP为定值是2，
∴CQ最小时，PQ最小，
∵点Q在y轴上，点C在x轴，
∴点Q在点O处时，CQ最小，最小值为CO=4，
∴PQ_最小=$\sqrt{C{O}^{2}-C{P}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，