Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线l相交于A、B两点．

⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAE的周长最小时，求点P的坐标；
⑶ 在x轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线的解析式是：
（2）P点坐标为（，）
（3）在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)

试题分析：⑴ 直线l：交y轴于点A(0，2)，
∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线上的点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式是：．
⑵ ∵=，∴对称轴为x=，
点E（－1，0）关于x=的对称点为F(4，0)．

如图⑴所示，联结AF，与对称轴x=的交点即为所求P点，由于E、F两点关于对称轴对称，则此时△PAE的周长=PA+PE+AE
=" PA+PF+AE=" AF+AE最小．
设直线AF的解析式为y=kx+2，
把F（4，0）代入，可得4k+2=0，解得k＝－，
∴直线AF解析式为y=－x＋2．
当x=时，y=，∴P点坐标为（，）．
⑶ 设在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，
① 若∠BAM=90⁰，此时点M应在x轴的负半轴上，如图⑵，
设直线l：交x轴于点C，令y=0，得x=6，∴C（6，0）．
由AM₁⊥AB，OA⊥OC，可证△AOC∽△M₁OA，
∴．
∵AO=2，OC=6，∴，
∴OM₁=，∴M₁(－，0)．
② 若∠ABM=90°，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑵，

∵点B是直线和抛物线的交点，
∴，解得，或(舍)
∴B(，)．
解法一：设M(m，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△CDB，
∴ ．
∵BD=，M₂D=－m，CD=6－=，
∴，解得m=，∴M₂(，0)．
解法二：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵BM₂∥AM₁， ∴∠BM₂D=∠AM₁O，
∵tan∠AM₁O＝＝3，
∴tan∠BM₂D＝＝＝3，
∴M₂D=．∴OM₂=OD－M₂D=－=，
∴M₂(，0)．
③ 若∠AMB=90°，则点M是以AB为直径的圆与x轴的交点，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑶，
设M(t，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDB，

∴．
∵AO=2，MD=－t，OM=t，BD=，
∴，解得，
∴M₃(，0)，M₄(，0)．
综上所述，在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：M₁(－，0)，M₂(，0)，M₃(，0)，M₄(，0)．
点评：考查函数性质与坐标关系，探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质综合，中考常见压轴题目种类，难度较大。