如图.抛物线y=$\frac{1}{2}$(x-3)2-1与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.顶点为D．(1)求点A.B.D的坐标,(2)连接CD.过原点O作OE⊥CD.垂足为H.OE与抛物线的对称轴交于点E.连接AE.AD．求证:∠AED=∠DAB,中的点E为圆心.1.5为半径画圆.在对称轴右侧的抛物线上有一动点P.过点P作⊙E的切线.切点为Q.当PQ的长最小时.求点P的坐标.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：∠AED=∠DAB；
（3）以（2）中的点E为圆心，1.5为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并写出∠PAB的正切值．

分析（1）令y=0，得到$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解方程即可求得A、B的坐标，直接根据解析式的顶点式求得D点的坐标；
（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，求得C点的坐标，求得CG=$\frac{9}{2}$，通过证得△DCG∽△EOM对应边成比例求得EM=2，从而求得ED=3，E（3，2）然后，根据勾股定理的逆定理证得△AED是直角三角形，即可证得结论；
（3）根据勾股定理以及切线的性质，由于半径是定值可知：要使切线长最小，只需EP长最小，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）²-1），根据勾股定理求得EP²=（x-3）²+[$\frac{1}{2}$（x-3）²-1-2]²，设（x-3）²=z，利用换元法得出EP²=$\frac{1}{4}$（z-4）²+5，即当（x-3）²=4时，EP²取得最小值为5．根据（x-3）²=4，求得x的值，进而即可求得P的坐标．

解答解：（1）在y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1中，令y=0，则$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得：x₁=3-$\sqrt{2}$，x₂=3+$\sqrt{2}$，
∴A（3-$\sqrt{2}$，0），B（3+$\sqrt{2}$，0），
由抛物线的顶点式可知D（3，-1）；
（2）如图1，过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴把x=0代入得，y=$\frac{7}{2}$，
∴GC=$\frac{9}{2}$，
设对称轴交x轴于点M，
∵OE⊥CD，∠BOC=90°，
∴∠DCO=∠EOM，
∵∠OME=∠CGD=90°，
∴△DCG∽△EOM，
∴$\frac{CG}{OM}$=$\frac{DG}{EM}$，即$\frac{\frac{9}{2}}{3}$=$\frac{3}{EM}$，
∴EM=2，
∴ED=3，E（3，2），
∴AE²=（3-$\sqrt{2}$-3）²+2²=6，AD²=（3-$\sqrt{2}$-3）²+1²=3，ED²=3²=9，
∴AE²+AD²=ED²，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠DAB+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠DAB；
（3）如图2，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）²-1），要使切线长最小，只需EP长最小，
∵E（3，2），
∴EP²=（x-3）²+[$\frac{1}{2}$（x-3）²-1-2]²，
设（x-3）²=z，
∴EP²=$\frac{1}{4}$（z-4）²+5，
∴当（x-3）²=4时，EP²取得最小值为5．
∵（x-3）²=4，
∴x₁=5，x₂=1（舍去），
∴点P的坐标为（5，1）；
∴tan∠PAB=$\frac{1}{5-（3-\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．