题目内容
12．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：∠AED=∠DAB；
（3）以（2）中的点E为圆心，1.5为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并写出∠PAB的正切值．
分析 （1）令y=0，得到$\frac{1}{2}$（x-3）2-1=0，解方程即可求得A、B的坐标，直接根据解析式的顶点式求得D点的坐标；
（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，求得C点的坐标，求得CG=$\frac{9}{2}$，通过证得△DCG∽△EOM对应边成比例求得EM=2，从而求得ED=3，E（3，2）然后，根据勾股定理的逆定理证得△AED是直角三角形，即可证得结论；
（3）根据勾股定理以及切线的性质，由于半径是定值可知：要使切线长最小，只需EP长最小，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）2-1），根据勾股定理求得EP2=（x-3）2+[$\frac{1}{2}$（x-3）2-1-2]2，设（x-3）2=z，利用换元法得出EP2=$\frac{1}{4}$（z-4）2+5，即当（x-3）2=4时，EP2取得最小值为5．根据（x-3）2=4，求得x的值，进而即可求得P的坐标．
解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1中，令y=0，则$\frac{1}{2}$（x-3）2-1=0，解得：x1=3-$\sqrt{2}$，x2=3+$\sqrt{2}$，
∴A（3-$\sqrt{2}$，0），B（3+$\sqrt{2}$，0），
由抛物线的顶点式可知D（3，-1）；
（2）如图1，过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴把x=0代入得，y=$\frac{7}{2}$，
∴GC=$\frac{9}{2}$，
设对称轴交x轴于点M，
∵OE⊥CD，∠BOC=90°，
∴∠DCO=∠EOM，
∵∠OME=∠CGD=90°，
∴△DCG∽△EOM，
∴$\frac{CG}{OM}$=$\frac{DG}{EM}$，即$\frac{\frac{9}{2}}{3}$=$\frac{3}{EM}$，
∴EM=2，
∴ED=3，E（3，2），
∴AE2=（3-$\sqrt{2}$-3）2+22=6，AD2=（3-$\sqrt{2}$-3）2+12=3，ED2=32=9，
∴AE2+AD2=ED2，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠DAB+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠DAB；
（3）如图2，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）2-1），要使切线长最小，只需EP长最小，
∵E（3，2），
∴EP2=（x-3）2+[$\frac{1}{2}$（x-3）2-1-2]2，
设（x-3）2=z，
∴EP2=$\frac{1}{4}$（z-4）2+5，
∴当（x-3）2=4时，EP2取得最小值为5．
∵（x-3）2=4，
∴x1=5，x2=1（舍去），
∴点P的坐标为（5，1）；
∴tan∠PAB=$\frac{1}{5-（3-\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，切线的性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，已知B点坐标为（4，0）．
如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是$\sqrt{5}$．
根据如图所示的程序计算函数值，若输出的y值为-0.5，则输入的x值为-0.5．