Question

18．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接BD，若BE=4$\sqrt{2}$，DG=2$\sqrt{2}$，求tan∠DBG的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CBG=∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE．
（2）利用勾股定理分别在RT△DHG，RT△BHG中，求出BH，HG即可解决．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG=∠BCG=90°，
∵∠BGC=∠DGF，
∴∠CBG=∠CDE．
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}\\{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
（2）解：∵△BCG≌△DCE，
∴CG=CE，
∵BE=BC+CE=4$\sqrt{2}$，DG=CD-CG=2$\sqrt{2}$，
∴BC=CD=3$\sqrt{2}$，CG=CE=$\sqrt{2}$，
在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，
过点G作GH⊥BD垂足为H，
∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DH}{DG}=sin45°$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DH=2，
∴GH=DH=2，
∵BD=BH-DH，
∴BH=6-2=4，
在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，
∴tan∠DBG=$\frac{HG}{BH}$，
∴tan∠DBG=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．