如图.在平面直角坐标系中.四边形ABCD为正方形.已知点A．点B.C在第一象限内．(1)求点B的坐标,(2)将正方形ABCD以每秒1个单位速度沿x轴向左平移．若存在某一时刻t.使在第二象限内点B.D两点的对应点B′.D′正好落在某反比例函数的图象上.请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式,的情况下．直线D′B′交y轴于点E．问是否存在x轴上的点P和反比例� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（3，0）、D（1，1）．点B、C在第一象限内．
（1）求点B的坐标；
（2）将正方形ABCD以每秒1个单位速度沿x轴向左平移（设运动时间为t秒）．若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下．直线D′B′交y轴于点E．问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q．使得以P、Q、E、B′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）过点D作DG⊥x轴于点G，BF⊥x轴于点F，根据ASA定理可得△ADG≌△BAF，故可得出点坐标；
（2）先用t表示出平移后B′，D′的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特点求出t的值，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（3）先利用待定系数法求出直线B′D′的解析式，故可得出E点坐标，再设P（a，0），Q（x，-$\frac{6}{x}$），分B′E为对角线和边两种情况进行讨论．

解答解：（1）过点D作DG⊥x轴于点G，BF⊥x轴于点，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAG=∠ABF，∠ADG=∠BAF，
在△ADG与△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DAG=∠ABF\\ AD=AB\\∠ADG=∠BAF\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BAF（ASA），
∴DG=AF=1，AG=BF=3-1=2，
∴B（4，2）；

（2）∵B（4，2），D（1，1），
∴t秒后B′（4-t，2），D′（1-t，1）．
∵设t秒后两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴2（4-t）=1-t，解得t=7，
∴B′（-3，2），D′（-6，1），
∴k=2×（-3）=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（3）存在．
设直线B′D′的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B′（-3，2），D′（-6，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=-3k+b\\ 1=-6k+b\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=3\end{array}\right.$．
∴直线B′D′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，
∴E（0，3）．
设P（a，0），Q（x，-$\frac{6}{x}$），
当B′E为对角线时，$\frac{a+x}{2}$=$\frac{-3}{2}$，$\frac{-\frac{6}{x}}{2}$=$\frac{2+3}{2}$，解得a=-$\frac{9}{5}$，x=-$\frac{6}{5}$，
∴P（-$\frac{9}{5}$，0），Q（-$\frac{6}{5}$，5）．
当B′E为边时，点Q的纵坐标为-1，此时Q（-1，6），P（9，0）．
综上所示，P（-$\frac{9}{5}$，0），Q（-$\frac{6}{5}$，5）或Q（-1，6），P（9，0）．