Question

【题目】如图，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得，交于点.

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，，且时，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或２.

【解析】

(１)延长交于点，交与点，由旋转的性质可得，旋转角，进一步证得DE∥CG，再根据旋转的性质得到说明，证得四边形为平行四边形，即可证明.

(2) 连接，由题意得为等腰直角三角形，证得；又因为，即可，，三点共线；再证明四边形为矩形，得到，说明为等腰直角三角形，根据锐角的三角函数即可完成解答.

（3）先判断出四边形ABCF是矩形，进而得出△DFG是等腰直角三角形，即可得出，再用勾股定理得出，再用建立等式即可得出结论.

（1）证明：延长交于点，交与点，

由题意得：，旋转角，

∴在和中，，

又∵，

∴，

∵绕点旋转得到，绕点顺时针旋转得，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴.

（2）连接，

∵，，

∴为等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，，三点共线，

又∵四边形为平行四边形，且

∴四边形为矩形

∴.

∵为等腰直角三角形

∴，

∴.

（3）如图3：延长DA，CG相交于点F

由旋转知，∠BAD=∠BCG=90°

∵∠BAF=∠BCF=90°

∴∠ABC=90°

∵四边形ABCF是矩形，

∴AF=BC，CF=AB，

∴FD=FG，

在Rt△DFG中，

在RtACF中，AF2+CF2=AC2

∴AB2+ BC2=AC2

∴

∴

∴

∴

∴

∴2AB2-5AB·BC+2BC2=0，

∴（2AB-BC）（AB-2BC）=0，

∴2AB-BC=0或AB-2BC=0，

∴或

故答案为：或2